हलकल्लोळ - २ (आकाशके उस पार भी आकाश है)

(फिजिक्समध्ये wavelength साठी 'लॅम्बडा' हे ग्रीक अक्षर का वापरतात? कदाचित एखादी wave  किती 'लांबडी ' आहे याचं ते द्योतक आहे.)

(पार्श्वभूमीकरिता हलकल्लोळ भाग -१ वाचा)
मागच्या भागात आपण मँडेलब्रॉटची शंका वाचली, 'ब्रिटनच्या समुद्रकिनाऱ्याची नक्की लांबी किती?' आता एक प्रात्यक्षिकच पाहू. वर दिलेल्या आकृतीमध्ये डावीकडे ती लांबी मोजण्यासाठी २०० कि.मी. लांबीची पट्टी वापरली आहे, तर उजवीकडे ५० कि.मी. लांबीची पट्टी. डावीकडच्या पट्टीने मोजल्यास एकूण लांबी २४०० किलोमीटर भरते तर उजवीकडच्या पट्टीने मोजल्यास ती ३४०० किलोमीटर भरते. इथे आपल्या डोळ्यांना सहज लक्षात येण्यासारखी गोष्ट आहे कि २०० किमी ची पट्टी बरीच वळणे, ओबड-धोबडपणा पाहू शकत नाही. आता आपण पट्टी आणखी छोटी करत गेलो, तर आणखीन छोटी छोटी नागमोडी वळणे आपण मोजू शकू. पट्टी जितकी छोटी तितके जास्त डीटेल्स आपल्याला कळतील आणि एकूण लांबीचा आकडा तितकाच जास्त फुगत जाईल. दूर यानातून आपल्याला जितकी लांबी मोजता येईल, त्यापेक्षा जास्त लांबी समुद्र-किनाऱ्यावर चालत फिरणारा माणूस मोजू शकेल. त्याही पेक्षा जास्त लांबी एकेक खडा पार करत जाणारी गोगलगाय मोजू शकेल (अर्थात तिला तितका पेशन्स हवा).

आता काही वेळापुरते आपण भूमितीकडे वळू आणि नंतर पुन्हा या भौगोलिक प्रश्नाकडे येऊ. त्याचं काय झालं, कि १९व्या शतकाच्या सुरुवातीला 'कोच' नावाचा एक स्वीडिश गणितज्ञ होऊन गेला. त्याने आकृत्यांबाबत अनेक खेळ केले. त्याच्या नावाने 'Koch's curve' म्हणून एक आकृती ओळखली जाते. अत्यंत सोपी, पण त्यात एक मर्म दडलं आहे अशी हि आकृती. ती कशी आहे ते आता आपण पाहू.

सुरुवातीला एक त्रिकोण घ्या. (त्याच्या प्रत्येक बाजूची लांबी '३' इतकी आहे असं आपण समजू. त्या ३ ला परिमाण काय हवं ते! म्हणजे त्रिकोणाची परिमिती ९

इतकी झाली.) त्याची प्रत्येक बाजू तीनात भागा. आता प्रत्येक मधल्या छोट्या भागावर आणखीन एक छोटा त्रिकोण बांधा (ज्याची प्रत्येक बाजू अर्थात १ इतकी असेल). आता तयार झालेल्या आकृतीची बाह्य परिमिती १२ इतकी होईल. आता त्या छोट्या त्रीकोणांनाही भागून त्यांच्यावर आणखीन छोटे छोटे त्रिकोण बांधत रहा. आता पुढची बाह्य परिमिती १६ इतकी होईल. (बाह्य परिमिती म्हणजे काय? - खाली दिलेल्या आकृत्यांमध्ये केवळ काळ्या रंगाच्या रेषा पहा).

(संदर्भ: http://www.makigami.info/cms/kochs-curve-process-design-90)

म्हणजे थोडक्यात, आपण जसे आणखीन छोटे छोटे त्रिकोण बांधत जाऊ, तसे नवीन आकृतीची परिमिती आधीच्या आकृतीच्या ४/३ पट होते. आता असे छोटे छोटे त्रिकोण अनंत काळ बांधत बसल्यास एकूण परिमिती ४/३ च्या पटीत वाढत वाढत जाऊन अनंत (infinite) होईल. याच आकृतीच नाव Koch's curve. गम्मत म्हणजे पहिल्या त्रिकोणाच्या तीनही बिंदुन्मधून जाणारे एक वर्तुळ काढले तर असं लक्षात येईल कि आपण पुढे कितीही त्रिकोण त्रिकोण वाढवत बसलो, तरी संपूर्ण आकृती त्या वर्तुळाच्या आतच राहते आहे. म्हणजे हि अनंत लांबीची रेषा एका छोट्याच्या वर्तुळाच्या आताच वस्ती करून बसलीये!

आता आपण एक काम करू. ह्या आकृतीच्या कोणत्याही एका भागात भिंगाने पाहण्याचा प्रयत्न करू. खाली दिलेली आकृती आपल्याला सलग झूम इन करत राहायला मदत करेल. ते पाहता असं लक्षात येईल कि जसे जसे आपण त्या आकृतीच्या जवळ जवळ जात राहू तसे तसे तोच तोच आकार आपल्याला दिसतो आहे. ह्या प्रकाराला 'स्व-समानता' (self-similarity) असं म्हटलं जातं. म्हणजे एखादी आकृती लांबून जशी दिसते, तशीच ती जवळूनही दिसते. तिला कितीही सूक्ष्मतर रुपात पाहत जाऊ, ती तशीच दिसते.

(जरा झूम झूम : संदर्भ: http://www.makigami.info/cms/kochs-curve-process-design-90)

अश्या आकृत्यांमध्ये नागमोडी वळणं आपल्याला लांबून दिसत नाहीत, पण जवळ जाता ते दृष्टिगोचर होतात. जितके त्याच्या आत शिरू तितकी आणखी नागमोडी वळणे दिसायला लागतात. हेच ते कारण ज्यामुळे मँडेलब्रॉट म्हणाला कि समुद्रकिनाऱ्याची लांबी अनंत आहे. (खऱ्या प्रसंगी ह्या आत आत शिरण्याला अंत आहे. कोणती तरी अशी स्थिती येईल ज्यापुढे ह्या रेषेची एकसंधता तुटेल.).

पण यावरून मँडेलब्रॉटच्या असं लक्षात आलं कि ही स्वसमानता अनेक गोष्टी विषद करू शकेल. ह्या स्वसमानतेचा गुणधर्म वस्तूंना एका ठराविक छोट्या आकारात सामावून देखील खूप मोठी लांबी देतो. मग याची पुढची पायरी येते ती म्हणजे ३ dimensions मध्ये ठराविक आकाराच्या आत प्रचंड मोठे क्षेत्र सामावून दाखवणे. एक गम्मत म्हणून तुम्ही स्वतः अशी एखादी आकृती काढून पहायचा प्रयत्न करू शकता. किंवा पुढच्या भागाची वाट पहा.

या स्वसमानतेमुळे मँडेलब्रॉट जणू काही सगळीकडे तेच पाहू लागला. जळी-स्थळी-काष्ठी-पाषाणी सगळीकडे स्वसमानता! झाडाच्या पानांत, फुलाच्या पाकळ्यांत इतकंच नाही तर आपल्या शरीरात - रक्तवाहिनिंच्या जाळ्यात, फुफ्फुसांच्या जंजाळात - सगळीकडे एक नवीन प्रकारची भूमिती वसत आहे. युक्लीडचे १, २ किंवा ३ dimensions त्या भूमितीला विषद करण्यास अपुरे आहेत. ह्यातूनच 'Fractals' ह्या नवीन भूमितीचा जन्म झाला. ह्या भूमितीने जगाकडे पाहण्याचा एक वेगळाच दृष्टीकोन दिला. लताचं 'आकाश के उस पार भी आकाश है' हे गाणं ऐकताना त्यामागे self similarity किंवा fractals च आहे कि काय असा मला भास झाला. काय आहे ही भूमिती? पाना-फुलात, रक्तवाहिन्यात तिचा काय उपयोग? पाहूया पुढच्या भागात. शिवाय जमलंच तर 'एका गणितीय धुळीने अर्थशास्त्राचे चढ-उतार कसे समजावून सांगता आले' हे देखील पाहू. (गणितीय धूळ हा शब्द जरा विचित्र वाटेल, पण कळेल, कळेल!)

- क्रमश:


(जेथे संदर्भ लिहिलेले नाहीत अशी चित्रे Wiki भाऊकडून घेतलेली आहेत)
(हा लेख २०१५-१६ मध्ये महाराष्ट्रातील काही शाळांमध्ये एका वाचन-प्रकल्पाचा भाग म्हणून वापरण्यात आला आहे.)