हलकल्लोळ - ४ (गणितीय धुळीने सांगितले कापसाचे बाजारभाव)
नवीन वर्ष जवळ आलं कि घरात कालनिर्णयचं आगमन होत असे. ह्या कालनिर्णयच्या प्रत्येक पानाच्या मागच्या बाजूला बहुमोल माहिती असते. त्यात माझं सर्वात आवडतं सदर म्हणजे "हे करून पहा". म्हणजे मला काही करून पाहण्याची हौस होती अशातला काही भाग नाही, पण ते सदर वाचून अतिशय करमणूक होत असे. लोक त्यात काय वाट्टेल ते लिहित. उदाहरणार्थ 'टेबलवर एक काचेचा बाउल ठेऊन त्यात पाण्यात कुंकू मिसळून ठेवावे - पाणी लाल दिसते'. आपल्याला लहानपणापासून माहिती असलेली माहिती काहीतरी नवीन सांगतो आहोत अशा थाटात दिलेली असे. आता 'रंगीत पाण्यात निशिगंधाच्या काड्या ठेवा, फुले रंगीत होतात' इथपर्यंत ठीक आहे, पण 'पाण्यात बर्फ घाला म्हणजे पाणी गार होईल' हे म्हणजे कमाल झाली! त्यात हौशी स्वयम्पाक्यांना तर ऊत आलेला असतो. 'उकडीच्या मोदकात बटाट्याचे पुरण भरून बीटच्या साखरेच्या पाकात तळावे' किंवा 'अर्ध गावरान हळकुंड पोखरून त्यात मसाला भरून तिळाच्या तेलात तळल्यास फिंगर चिप्स सारखे लागतात. वरून शेपूच्या भाजीची सजावट केल्यास मुले आवडीने खातील'! गेली अनेक वर्ष हे 'हे करून पहा' सदर बंद झालं आहे.
आता तुम्ही म्हणाल कि याचा इथे काय सबंध? तसं बघायला गेलं तर काहीच नाही. फक्त आपणही इथे एक रेसिपी करून पाहणार आहोत. या लेखात आता हे एक सदर घुसाडतो आहे - 'हे करून पहा'. काय करून पाहणार आहोत आपण? आधी करून तर पहा.
हे करून पहा -
एक ठराविक लांबीची रेष घ्या. लांबी कितीही चालेल. सोयीच्या दृष्टीने ती सरळ रेष घ्या. आता त्या रेषेला ३ भागांमध्ये विभागा आणि त्यातला मधला भाग पुसून टाका. म्हणजे आता त्या पुसलेल्या भागाच्या डावीकडे १/३ भाग आणि उजवीकडे १/३ भाग शिल्लक राहील. आता ह्या शिल्लक राहिलेल्या दोन्ही भागांना सुद्धा प्रत्येकी ३ भागात विभागा आणि त्यांच्यातला देखील मधला मधला भाग पुसून टाका. आता त्या रेषेचे ४ छोटे तुकडे उरले असतील. त्या प्रत्येक तुकड्याच्या देखील मधला १/३ भाग पुसून टाका. आता आणखीन छोटे असे ८ तुकडे उरलेत - उनके साथ भी यही सुलुख किया जाये. अशी ही कृती अनंत काळ करत रहा म्हणजे त्या त्या रेषेचे 'लांबी मोजता येणार नाहीत' इतक्या छोट्या आकाराचे तुकडे तुकडे झाले असतील. खालील प्रमाणे.
आता या चित्रात दिलेल्या रेषेला एक जाडी आहे त्यामुळे तिचे बारीक तुकडे हे कण न वाटता उभ्या रेषा वाटत आहेत. पण तुम्ही जर अतिशय बारीक अशी रेष घेतली तर तुमच्या झोळीत शेवटी फक्त कणच राहतील. आपण जितक्या अधिक वेळा ती रेष पुसत राहू, तितकी तिची एकूण लांबी कमी कमी होत जाईल आणि तुकड्यांची संख्या वाढत वाढत जाईल. अनंत काळ हि कृती केल्यास लांबी शून्याच्या जवळ जाईल आणि तुकड्यांची संख्या अनंताच्या जवळ जाईल. हि कृती करून जे काही हाती पडेल, त्यालाच मी मागच्या भागांमध्ये म्हटलं आहे - 'गणितीय धूळ'.
तुम्ही म्हणाल कि आम्ही हे करून पाहिलं आणि आम्हाला हि धूळ मिळाली, पण त्यात विशेष ते काय? असं काय करता! अहो त्यात झूम इन करत जा, आणि पहा ना - तीच तीच आकृती पुन्हा दिसू लागेल. या धुळीची रचना लांबून जशी दिसते तशीच जवळून देखील दिसू लागेल. मागच्या भागांमध्ये आपण पाहिलेल्या स्वसमानतेचं हे सगळ्यात सोपं उदाहरण. ह्याला गणिती लोक "कॅन्टर सेट" असं म्हणतात. गणितात त्याला अनन्य साधारण महत्त्व आहे. तो एक असा संच आहे, ज्याची एकूण लांबी ठराविक आहे, ज्यातील संख्या विच्छिन्न (discontinuous) असून त्या संख्येने अगणित आहेत. याशिवाय आणखीन काही वैशिष्ट्ये आहेत. गणित आणि विशेषत: set theory च्या अभ्यासकांना आवडेल असे काम यात आहे. या लेखमालेचा उद्देश वेगळा असल्याकारणाने याच्या अधिक अभ्यासात आणि विश्लेषणात मी तूर्तास पडत नाही.
आता ह्या धुळीचा मँडेलब्रॉटने कसा उपयोग केला तो पहा. त्याचं काय झालं की मँडेलब्रॉट IBM मध्ये असताना अर्थशास्त्रावर देखील काम करत होता. १९६१ मध्ये 'Income distribution' या विषयावर व्याख्यान देण्यासाठी तो एकदा हार्वर्ड विश्वविद्यालयात गेला होता. तेव्हा वर्गात प्रवेश करून पाहतो तर त्याला तेथे बोलावणाऱ्या यजमानांनी (Hendrik Houthakker) फळ्यावर एक चित्र/आलेख काढला होता. तो आलेख पाहून मँडेलब्रॉट चाट पडला, कारण मँडेलब्रॉट ज्या आकृतीच्या सहाय्याने वर्गात व्याख्यान देणार होता ती आकृती अगदी तशीच होती! त्याने याबाबत यजमानांना विचारलं कि ही आकृती तुमच्याकडे कशी? तर यजमान म्हणाले की 'मला तुमच्या आकृती बद्दल काही माहित नाही. हे जे मी फळ्यावर काढलंय, ते माझं स्वतःचं संशोधन आहे. कापसाच्या भावाचे चढ-उतार मी त्यात दाखवले आहेत.' पण या विचाराने मँडेलब्रॉटच्या मनात घर केलं. घरी आल्यावर त्याने या कापसाच्या भावाच्या चढ-उतारांचा अभ्यास करण्याचं ठरवलं. १९०० सालापासूनचे सर्व आकडे गोळा केले. त्यांची व्यवस्थित मांडणी केली. मग त्याच्या लक्षात आलं की ह्या कापसाच्या किमती एकसलग अशा बदलत नसून अचानकपणे बदलतात. कधी एकदम वर तर कधी एकदम खाली. पुढच्या क्षणाला काय किंमत असेल ते आत्ता सांगणं अशक्य आहे. पण असं जरी असलं तरी ते किमतीतले बदल कधी घडतात याचा एक विशिष्ट असा पॅटर्न आहे.
वरची आकृती पाहता हे लक्षात येईल की किमतींचे चढ-उतार १० वर्षात जसे होताना दिसतात तसेच १०० वर्षात तसेच हजार वर्षात होताना दिसतील. आता इथे एक्स अ‍ॅक्सिसवर लॉगॅरिदमिक स्केल असल्यामुळे कदाचित गोंधळ होण्याची शक्यता आहे. इतकंच लक्षात घ्या की एका दिवसभरात बदलणाऱ्या किमतींचा वेळेसोबत आलेख काढला तर जसा दिसेल, साधारण तसाच तो एक महिनाभर बदलणाऱ्या किमतींचा सुद्धा दिसेल. म्हणजेच या किमतींच्या आलेखामध्ये सुद्धा एक प्रकारची स्वसमानता विलसत आहे. तो आलेख तसाच आणखीन एक वर्ष किंवा दहा वर्ष इतका झूम आउट केल्यास पुन्हा तशाच प्रकारचा आलेख दिसेल. शिवाय या किमती कॅन्टर सेट मधील घटकांप्रमाणे विच्छिन्न आहेत. त्यामुळे मँडेलब्रॉटने त्याच्या या संशोधनानंतर हे अर्थशास्त्रातील चढ-उतार स्वसमानता आणि विच्छिन्न घटक असलेल्या कॅन्टर सेटच्या सहाय्याने समजावून सांगितले, इतकंच नाही तर पुढील वर्षातल्या किमतींच्या चढ-उतारांचा अंदाज देखील सांगितला.
असो. तूर्तास हे स्वसमानता पुराण पुरे! आपण आपली गाडी जरा निसर्गाकडे वळवू. आपल्याला असे कधी प्रश्न पडतात का? - निसर्गात काटकोन खूप कमी दिसतो. मग मानव-निर्मित गोष्टींमध्येच इतके काटकोन का? निसर्गात काटकोन कुठे असतात? मुंग्या चावतात, भांडणं करतात पण त्या कधी एकमेकींना साखरेचा दाणा फेकून का नाही मारत? पौराणिक कथांमध्ये दाखवतात त्याप्रमाणे कुठला प्राणी जशाच्या तसा आकाराने मोठा केला (जादूने) तर त्याचं शरीर त्या परिस्थितीत तग राहू शकेल का? अशा प्रश्नांची उत्तरं सुद्धा आपण या लेखमालेत पाहणार आहोत पुढच्या भागांमध्ये. आता आपण थोडेसे केऑसपासून दूर जाऊ, पण निसर्गाच्या जास्त जवळ जाऊ. जरा मजेशीर प्रश्नांची उत्तरं माहिती करून घेऊ आणि ते जाणून घेत घेत आणखी किती तरी नवीन शंकांना जन्म देऊ. आपल्या डोळ्यासमोरची उदाहरणं असल्यामुळे त्यात कदाचित मज येईल, मलाही आणि तुम्हालाही. तर आता पुढच्या भागांमध्ये वाचूयात - 'मुंग्या दाणा फेकून का मारत नाहीत'. तोपर्यंत नमस्कार!
(जेथे नमूद केलेले नाही अशी चित्रे विकीभौंकडून घेतली आहेत)
(तांत्रिक माहिती आणि काही मराठी प्रतिशब्द सुचविल्याबद्दल रोहित होळकरचे आभार)
आता तुम्ही म्हणाल कि याचा इथे काय सबंध? तसं बघायला गेलं तर काहीच नाही. फक्त आपणही इथे एक रेसिपी करून पाहणार आहोत. या लेखात आता हे एक सदर घुसाडतो आहे - 'हे करून पहा'. काय करून पाहणार आहोत आपण? आधी करून तर पहा.
हे करून पहा -
एक ठराविक लांबीची रेष घ्या. लांबी कितीही चालेल. सोयीच्या दृष्टीने ती सरळ रेष घ्या. आता त्या रेषेला ३ भागांमध्ये विभागा आणि त्यातला मधला भाग पुसून टाका. म्हणजे आता त्या पुसलेल्या भागाच्या डावीकडे १/३ भाग आणि उजवीकडे १/३ भाग शिल्लक राहील. आता ह्या शिल्लक राहिलेल्या दोन्ही भागांना सुद्धा प्रत्येकी ३ भागात विभागा आणि त्यांच्यातला देखील मधला मधला भाग पुसून टाका. आता त्या रेषेचे ४ छोटे तुकडे उरले असतील. त्या प्रत्येक तुकड्याच्या देखील मधला १/३ भाग पुसून टाका. आता आणखीन छोटे असे ८ तुकडे उरलेत - उनके साथ भी यही सुलुख किया जाये. अशी ही कृती अनंत काळ करत रहा म्हणजे त्या त्या रेषेचे 'लांबी मोजता येणार नाहीत' इतक्या छोट्या आकाराचे तुकडे तुकडे झाले असतील. खालील प्रमाणे.
आता या चित्रात दिलेल्या रेषेला एक जाडी आहे त्यामुळे तिचे बारीक तुकडे हे कण न वाटता उभ्या रेषा वाटत आहेत. पण तुम्ही जर अतिशय बारीक अशी रेष घेतली तर तुमच्या झोळीत शेवटी फक्त कणच राहतील. आपण जितक्या अधिक वेळा ती रेष पुसत राहू, तितकी तिची एकूण लांबी कमी कमी होत जाईल आणि तुकड्यांची संख्या वाढत वाढत जाईल. अनंत काळ हि कृती केल्यास लांबी शून्याच्या जवळ जाईल आणि तुकड्यांची संख्या अनंताच्या जवळ जाईल. हि कृती करून जे काही हाती पडेल, त्यालाच मी मागच्या भागांमध्ये म्हटलं आहे - 'गणितीय धूळ'.
तुम्ही म्हणाल कि आम्ही हे करून पाहिलं आणि आम्हाला हि धूळ मिळाली, पण त्यात विशेष ते काय? असं काय करता! अहो त्यात झूम इन करत जा, आणि पहा ना - तीच तीच आकृती पुन्हा दिसू लागेल. या धुळीची रचना लांबून जशी दिसते तशीच जवळून देखील दिसू लागेल. मागच्या भागांमध्ये आपण पाहिलेल्या स्वसमानतेचं हे सगळ्यात सोपं उदाहरण. ह्याला गणिती लोक "कॅन्टर सेट" असं म्हणतात. गणितात त्याला अनन्य साधारण महत्त्व आहे. तो एक असा संच आहे, ज्याची एकूण लांबी ठराविक आहे, ज्यातील संख्या विच्छिन्न (discontinuous) असून त्या संख्येने अगणित आहेत. याशिवाय आणखीन काही वैशिष्ट्ये आहेत. गणित आणि विशेषत: set theory च्या अभ्यासकांना आवडेल असे काम यात आहे. या लेखमालेचा उद्देश वेगळा असल्याकारणाने याच्या अधिक अभ्यासात आणि विश्लेषणात मी तूर्तास पडत नाही.
आता ह्या धुळीचा मँडेलब्रॉटने कसा उपयोग केला तो पहा. त्याचं काय झालं की मँडेलब्रॉट IBM मध्ये असताना अर्थशास्त्रावर देखील काम करत होता. १९६१ मध्ये 'Income distribution' या विषयावर व्याख्यान देण्यासाठी तो एकदा हार्वर्ड विश्वविद्यालयात गेला होता. तेव्हा वर्गात प्रवेश करून पाहतो तर त्याला तेथे बोलावणाऱ्या यजमानांनी (Hendrik Houthakker) फळ्यावर एक चित्र/आलेख काढला होता. तो आलेख पाहून मँडेलब्रॉट चाट पडला, कारण मँडेलब्रॉट ज्या आकृतीच्या सहाय्याने वर्गात व्याख्यान देणार होता ती आकृती अगदी तशीच होती! त्याने याबाबत यजमानांना विचारलं कि ही आकृती तुमच्याकडे कशी? तर यजमान म्हणाले की 'मला तुमच्या आकृती बद्दल काही माहित नाही. हे जे मी फळ्यावर काढलंय, ते माझं स्वतःचं संशोधन आहे. कापसाच्या भावाचे चढ-उतार मी त्यात दाखवले आहेत.' पण या विचाराने मँडेलब्रॉटच्या मनात घर केलं. घरी आल्यावर त्याने या कापसाच्या भावाच्या चढ-उतारांचा अभ्यास करण्याचं ठरवलं. १९०० सालापासूनचे सर्व आकडे गोळा केले. त्यांची व्यवस्थित मांडणी केली. मग त्याच्या लक्षात आलं की ह्या कापसाच्या किमती एकसलग अशा बदलत नसून अचानकपणे बदलतात. कधी एकदम वर तर कधी एकदम खाली. पुढच्या क्षणाला काय किंमत असेल ते आत्ता सांगणं अशक्य आहे. पण असं जरी असलं तरी ते किमतीतले बदल कधी घडतात याचा एक विशिष्ट असा पॅटर्न आहे.
Source: (Mandelbrot, B. (1963). The variation of certain speculative prices. The Journal of Business 34 (4), 394-419)
वरची आकृती पाहता हे लक्षात येईल की किमतींचे चढ-उतार १० वर्षात जसे होताना दिसतात तसेच १०० वर्षात तसेच हजार वर्षात होताना दिसतील. आता इथे एक्स अ‍ॅक्सिसवर लॉगॅरिदमिक स्केल असल्यामुळे कदाचित गोंधळ होण्याची शक्यता आहे. इतकंच लक्षात घ्या की एका दिवसभरात बदलणाऱ्या किमतींचा वेळेसोबत आलेख काढला तर जसा दिसेल, साधारण तसाच तो एक महिनाभर बदलणाऱ्या किमतींचा सुद्धा दिसेल. म्हणजेच या किमतींच्या आलेखामध्ये सुद्धा एक प्रकारची स्वसमानता विलसत आहे. तो आलेख तसाच आणखीन एक वर्ष किंवा दहा वर्ष इतका झूम आउट केल्यास पुन्हा तशाच प्रकारचा आलेख दिसेल. शिवाय या किमती कॅन्टर सेट मधील घटकांप्रमाणे विच्छिन्न आहेत. त्यामुळे मँडेलब्रॉटने त्याच्या या संशोधनानंतर हे अर्थशास्त्रातील चढ-उतार स्वसमानता आणि विच्छिन्न घटक असलेल्या कॅन्टर सेटच्या सहाय्याने समजावून सांगितले, इतकंच नाही तर पुढील वर्षातल्या किमतींच्या चढ-उतारांचा अंदाज देखील सांगितला.
असो. तूर्तास हे स्वसमानता पुराण पुरे! आपण आपली गाडी जरा निसर्गाकडे वळवू. आपल्याला असे कधी प्रश्न पडतात का? - निसर्गात काटकोन खूप कमी दिसतो. मग मानव-निर्मित गोष्टींमध्येच इतके काटकोन का? निसर्गात काटकोन कुठे असतात? मुंग्या चावतात, भांडणं करतात पण त्या कधी एकमेकींना साखरेचा दाणा फेकून का नाही मारत? पौराणिक कथांमध्ये दाखवतात त्याप्रमाणे कुठला प्राणी जशाच्या तसा आकाराने मोठा केला (जादूने) तर त्याचं शरीर त्या परिस्थितीत तग राहू शकेल का? अशा प्रश्नांची उत्तरं सुद्धा आपण या लेखमालेत पाहणार आहोत पुढच्या भागांमध्ये. आता आपण थोडेसे केऑसपासून दूर जाऊ, पण निसर्गाच्या जास्त जवळ जाऊ. जरा मजेशीर प्रश्नांची उत्तरं माहिती करून घेऊ आणि ते जाणून घेत घेत आणखी किती तरी नवीन शंकांना जन्म देऊ. आपल्या डोळ्यासमोरची उदाहरणं असल्यामुळे त्यात कदाचित मज येईल, मलाही आणि तुम्हालाही. तर आता पुढच्या भागांमध्ये वाचूयात - 'मुंग्या दाणा फेकून का मारत नाहीत'. तोपर्यंत नमस्कार!
(जेथे नमूद केलेले नाही अशी चित्रे विकीभौंकडून घेतली आहेत)
(तांत्रिक माहिती आणि काही मराठी प्रतिशब्द सुचविल्याबद्दल रोहित होळकरचे आभार)
Comments